Hyperseries and surreal numbers
Hyperséries et Nombres surréels
Résumé
Hyperseries are generalized transseries thatinvolve exponentials, logarithms of a positive infinitevariable x, as well as so-called transfinite iterators of the exponential and the logarithm. For instance, the first transfinite iterator of the exponential can beconstrued as a formal counterpart to regular (e.g. monotonous and analytic)solutions of Abel's equationf(r+1)=exp(f(r))for large enough r ∈ R. Such seemingly exotic functions are of particular interest becausetheir formal counterparts are amenable to asimple "hyperserial calculus'' according to which derivations andcompositions of hyperseries are naturally defined, with tame properties.The goal of the thesis is to define a structure of field of hyperserieson Conway's field No of surreal numbers}. We show that eachsurreal number can be canonically represented as a hyperseries in whichthe number ω ∈ No takes the role of the positive infinitevariable x.To that end, we show how the transfinite iterators can be defined ongeneral fields of formal hyperseries, and we show that these functions can be defined in a natural way on surreal numbers. We then introduce a way to represent each surreal number as a formal series in ω involving the transfinite iterators, real numbers, and transfinite sums.
Les hyperséries sont des transsériesgénéralisées construites à partir d’exponentielleset de logarithmes log x d’une variable positive et infinimentgrande x, ainsi que d’itérateurs transfinisde l'exponentielle et du logarithme. Par exemple, les premiers itérateurs peuvent être vus comme des avatars formels de solutions régulières (en particulier monotones et analytiques)de l’équation d’Abelf(r + 1) = exp(f(r))pour r ∈ R suffisamment grand. Detelles fonctions, exotiques en apparence, sont particulièrement intéressantes du fait qu’il est possibled’effectuer un ”calcul hypersériel” simple et bien définiavec leur contrepartie formelles. Selon cesrègles de calcul, il devrait être possible de définir defaçon naturelle des dérivations et lois de compositionsur les hyperséries, de sorte qu’il en résulte des structuresmodérées des points de vue de la géométrie etde la théorie des modèles.L’objectif de cette thèse est de définir une structurede corps d’hyperséries sur le corps No des nombressurréels de Conway. Nous prouvons que tout nombresurréel est représenté canoniquement par une hypersérie dans laquelle le nombre surréel ω ∈ No joue le rôlede la variable infinie x.A cette fin, nous montrons comment définirles itérateurs transfinis sur des corpsgénéraux d’hyperséries, et nous prouvons que cesopérateurs peuvent être définis de façon naturelle surles nombres surréels. Nous introduisons ensuite unmoyen de représenter chaque nombre surréel commeune série formelle en ω impliquant les itérateurs transfinis, des coefficients réels, et des sommes transfinies.
Origine : Version validée par le jury (STAR)