Aggregation-diffusion equations : asymptotics and approximations
Équations d’agrégation-diffusion : asymptotiques et approximations
Abstract
In this thesis we study aggregation-diffusion equations arising from collective dynamics. We are interested in measure solutions to these equations, which are known to develop singularities in finite-time in the absence of diffusion. In this framework, studying the global existence of solutions is involved and requires a specific definition of the velocity field. Designing and analysing numerical schemes also requires to take into account the possible presence of Dirac masses. In the inviscid case, we give a general framework to the convergence analysis of finite-volumes schemes for measure solutions. We show that convergence estimates can be obtained in some cases using the Burgers equation. We then focus on the diffusion limit in any dimension. Using optimal transport arguments, we show convergence of diffusive solutions to the solution of the aggregation equation with the right velocity field when the diffusion coefficient vanishes. We also show convergence of the steady states towards the Dirac mass. In both cases, we give convergence estimates in Wasserstein distance. We finally study a relaxation system à la Jin-Xin for the aggregation equation in one dimension, for which we also prove convergence estimates when the relaxation parameter vanishes. We propose, in addition, two numerical schemes that are shown to preserve this asymptotic.
Dans cette thèse nous étudions les équations d’agrégation-diffusion, qui apparaissent dans la modélisation de mouvement collectifs. Nous nous intéressons aux solutions mesures de ces équations, qui sont connues pour développer des singularités en temps fini en l’absence de diffusion. Dans ce cadre, l’étude de l’existence globale de solutions est délicate et requiert une définition précise du champ de vitesse. La construction et l’analyse de schémas numériques doivent aussi prendre en compte la présence possible de masses de Dirac. Dans le cadre non diffusif, nous donnons un cadre général à l’analyse de convergence de schémas de type volumes finis pour les solutions mesures. Nous montrons que des estimations de convergence peuvent être obtenues dans certains cas en passant par l’équation de Burgers. Nous nous intéressons ensuite à la limite de diffusion en dimension quelconque. Avec des arguments de transport optimal, nous montrons la convergence des solutions diffusives vers la solution de l’équation d’agrégation avec le bon champ de vitesse lorsque le coefficient de diffusion tend vers 0 ainsi que la convergence des états stationnaires vers le Dirac. Dans les deux cas, nous donnons des estimations de convergence en distance de Wasserstein. Enfin, nous étudions un système de relaxation à la Jin-Xin pour l’équation d’agrégation unidimensionnelle pour lequel nous prouvons également des estimations de convergence lorsque le paramètre de relaxation tend vers 0. Nous proposons également deux schémas numériques dont nous montrons qu’ils préservent cette asymptotique.
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